사람이면 문제이다? 문제이면 사람이다? 사람이 아니면 문제가 아니다? 문제가 아니면 사람이 아니다? (역 이 대우, 논리학)

사진1. 뭔말이야?

 

첫 단원만 몇 번째야

고등학교 1학년 수학 첫단원 집합과 명제는 고등학교 졸업자라면 반드시 1번 이상은 봤을 법 한 부분이다. 나는 여기만 너무봐서 문제였지만... 아마 수학을 암기과목으로 받아들이게 되면 'p이면 q이다' 라는 명제에 대한 내용 바로 다음부터 외우기를 시작했을 것이다. 그 부분이 바로 여기, 논리학의 기본으로 다뤄지는 가정과 결론의 관계에 있다.

 

p이면 q이다

우선 명제의 정의부터 알아볼 필요가 있다.

 

명제(命題)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, '참' 혹은 '거짓'임을 검증할 수 있는 '객관적 사태'가 포함된 문장을 말한다. - 위키백과 -

 

'모든 사람은 죽는다', '지구는 태양 주위를 돈다', '우영우는 거꾸로 해도 우영우다' 등등 참과 거짓을 분명히 판별할 수 있어야 명제이다. 명제는 그 요소로서 반드시 가정과 결론을(가정과 결론 모두 '조건' 에 해당한다. 즉, 두 가지 조건의 관계가 필요) 포함하는데 일반적으로 명제Proposition 의 p와 다음 알파벳인 q를 따서 'p이면 q이다(p->q)'의 기본 구조를 갖는다. 더 이상 분해되지 않는 하나의 명제를 단순명제라고 하며 이 단순명제들을 연결사로 이어 만든 명제를 합성명제라고 한다.

일상 문장의 모든 것이 명제를 만족하지는 않는다. 명제가 아닌 예시들은 다음과 같다.

 

“소크라테스는 누구인가?” “저곳으로 가라.” “재즈 음악은 아름답다.” “x + 3 = 7이다.”
첫 두 개의 문장은 참·거짓이 없으므로 명제가 아니다. 세 번째 문장은 사람에 따라 참인가 거짓인가가 달라질 수 있기 때문에 명제가 아니다. 네 번째 문장은 x의 값에 따라 참일 수도 거짓일 수도 있으므로 명제가 아니다. - 위키백과 -

 

역 converse

 

이상한 변호사 우영우 | 넷플릭스

 

명제(命題) ‘p이면 q이다’에 대하여 ‘q이면 p이다’를 처음 명제의 역이라고 한다. 이를테면, ‘어떤 수가 6의 배수이면, 그 수는 짝수이다’의 역은 ‘어떤 수가 짝수이면, 그 수는 6의 배수이다’가 된다. - 네이버 지식백과 -

 

'우영우는 거꾸로 해도 우영우다'  라는 명제의 '역'은 무엇일까? 한국인은 이 문장을 이해하는데 전혀 어려움이 없지만 논리적으로 따지기에는 명제에 숨은 말들을 잘 풀어야한다. 여기서 가정은 '어떤 단어는 우영우이다.' 이고 결론은 '그것은 음절의 순서를 뒤집어도 원래 단어가 된다.' 이다. 즉, '우영우는 거꾸로 해도 우영우다'  라는 명제는 '어떤 단어가 우영우라면, 그 단어는 음절의 순서를 뒤집어도 원래 단어가 된다.' 라고 풀어볼 수 있다. '역'이란 가정과 결론의 조건을 뒤바꿔 얻은 명제이기에 이 명제의 역은 '어떤 단어가 음절의 순서를 뒤집어도 원래 단어가 된다면, 그 단어는 우영우다.' 라고 말할 수 있다. 그런데 조금이상하지 않은가? 기러기, 토마토, 스위스도 음절의 순서를 뒤집어도 원래단어가 되는 단어들인데 이 단어들이 모두 우영우는 아니다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

p -> q : x = '우영우' -> x = '음.순.뒤.원'
q -> p : x = '음.순.뒤.원' -> x = '우영우'

 

여기서 주의할점은 원래 명제가 참이거나 거짓이더라도 그 역이 반드시 반대인것은 아니라는 것이다. 다음 예시를 풀이했던 명제에 대입하면 두 명제 모두 참이라는것을 알 수 있다.

 

p -> q : x = '삼각형' -> x = '변이 3개인 2차원 도형'
q -> p : x = '변이 3개인 2차원 도형' -> x = '삼각형'

 

이 inverse

사진2. 태양 주위를 공전하는 것은 지구만이 아닌데 그림이 이상한데??

 

논리학에서, 어떤 조건 명제의 이(裏, 영어: inverse)는 그 조건 명제의 가정과 결론에 각각 부정을 취하여 얻는 명제이다. 예를 들어, 'p이면 q이다'라는 명제의 이는 'p가 아니면 q가 아니다'이다. 명제의 이는 그 명제의 역과 동치이다. - 위키백과 -

 

'지구는 태양 주위를 돈다' 의 '이' 는 무엇일까? 앞에서와 마찬가지로 가정과 조건을 논리적으로 좀 더 풀이해 보자면 '어떤 행성이 지구라면, 그 행성은 태양 주위를 도는 행성이다.' 이다. '이' 의 정의에 따라 이 명제의 '이'는 '어떤 행성이 지구가 아니라면, 그 행성은 태양 주위를 도는 행성이 아니다.' 이다. 이 명제는 거짓이라는 것을 우리는 금방 판별할 수 있다. 화성도, 목성도 지구가 아니지만 태양 주위를 도는 행성이다.

 

p -> q : x = '지구' -> x = '태.주.도.행'
~p -> ~q : x ≠ '지구' -> x ≠ '태.주.도.행'
※ ~p의 '~'는 부정을 뜻하는 연결사로 'p가 아니다' 를 의미한다.

 

여기서도 주의할 점은 어떤 명제가 참이건 거짓이건 '이'가 반드시 그에 따라 참 거짓이 결정되지는 않는다는 것이다. 역에서 썼던 예를 똑같이 쓸 수 있다.

 

p -> q : x = '삼각형' -> x = '변이 3개인 2차원 도형'
~p -> ~q : x ≠ '삼각형' -> x ≠ '변이 3개인 2차원 도형'

 

대우 contrapositive

사진3. 모든 사람은 죽는다고 알고 있다. 아직까지는 말이다.

 

논리학에서, 어떤 조건 명제의 대우(對偶, 영어: contrapositive)는 그 조건 명제의 가정과 결론을 뒤바꾼 뒤 각각 부정을 취하여 얻는 명제이다. 다시 말해, 명제의 대우는 그 명제의 역의 이 또는 이의 역과 같다. 예를 들어, 'p이면 q이다'라는 명제의 대우는 'q가 아니면 p가 아니다'이다.

 

'모든 사람은 죽는다'의 '대우'는 무엇일까? 사실 이 명제는 지칭하는 대상이 조금 모호해서 좀 더 한정 할 필요가 있다. 내가 해석한대로 수식을 바로 쓰면 다음과 같다.

 

p -> q : x = '살아있는 생물학적 사람' -> x = '언젠가는 죽을 사람'
~q -> ~p : x ≠ '언젠가는 죽을 사람' -> x ≠ '살아있는 모든 사람'

 

'어떤 사람이 언젠가는 죽을 사람이 아니라면, 살아있는 생물학적인 사람이 아니다.' 어떤가? 우리가 지금껏 본적은 없지만 절대 죽지 않는 사람이 있다면, 그 사람은 생물학적으로 어머니의 뱃속에서 우리처럼 태어난 사람이 아닐거라는 생각이 들지 않는가? (심지어 예수님도 한 번은 돌아가셨다) 왜 이렇게까지해서 말을 괜히 어렵게 만드는 건지 모르겠다 싶은데, 이게 중요한 이유가 있다. 왜냐하면, 원래 명제가 참이라면 그 명제의 '대우' 는 반드시 참이기 때문이다. 논리학에서 이것을 대우법칙이라고 한다.

 

고전 논리에서 한 쌍의 명제가 서로 대우라면, 이 둘은 항상 논리적 동치이다. 즉, 서로 대우인 명제는 둘 다 참이거나 둘 다 거짓이다. - 위키백과 -

 

P.S. 명제를 연결하는 연결사와 '어떤' '모든' 과 같은 한정기호에 대한 설명은 나중으로 미루도록 한다.