사인 코사인 탄젠트
어딘가에 필요한 곳에 잘 쓰이고 있겠지 라고 생각만 하고 학교 시험, 수능시험이 끝나고 나서 깨끗이 잊어버렸던 삼각함수들(하지만 대학수학이 출동하면 어떨까?). 삼각형에 C, S, t 를 그렸던것을 마지막으로 기억에서 사라진 삼각함수의 의미를 다시 한 번 새겨보고자 한다.
삼각함수란?
수학에서 삼각함수는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. - 위키백과 -
삼각함수의 이름에서 알 수 있듯이 삼각함수는 함수의 일종이다. 즉, 자판기처럼 특정한 입력값을 받고 그에 상응하는 특정한 출력값을 토해내는 수학적 기계인 것이다. 또한 위 박스 안의 정의를 통해 삼각함수는 두 변이 만나는 각의 크기를 출력하는 함수라는 것을 알 수 있고 그 표현 방식은 '삼각비' 이다. 그렇다면 삼각비는 무엇일가?
직각삼각형에서 변의 길이 비(比)의 값으로, 각의 크기가 변하면 삼각비의 값도 변한다. - 네이버 지식백과 -
삼각비는 직각삼각형일때 정의할 수 있는 변의 길이 비율이다. 따라서 삼각함수는 기본적으로 직각삼각형을 이용한 각의 크기를 알아내는데 사용된다고 할 수 있다.
여러가지 삼각함수들
단위원이란 반지름이 1인 원이다. 이 안에 점을 세개 찍어 직각삼각형을 만들면 삼각함수를 이해하는데 수월하다. 원의 중심(O), 원의 둘레에 있는 한 점(A), 그리고 그 점을 지나면서 원의 중심을 지나는 직선과 수직으로 만나는 직선의 교점(C). 이 직각삼각형에서 중심점의 각을 θ로 한다. 원의 반지름이(빗변의 길이가) 1이기 때문에 삼각형의 다른 변들의 길이도 1을 넘을 수 없다(중심을 평면의 원점(0,0)으로 한다면 길이를 음수로 볼 수도 있다. -1 ~ 1).
sinθ = 높이/빗변 = 높이/1 = 높이가 곧 sinθ -> 0~1 사이의 수
cosθ = 밑변/빗변 = 밑변/1 = 밑변의 길이가 곧 cosθ -> 0~1 사이의 수
tanθ = 높이/밑변 = sinθ/cosθ -> 0 ~ ∞ 사이의 수
기본적인 세 삼각함수들의 역수들도 쉽게 이해할 수 있다.
코시컨트 : cscθ = 1/sinθ = 높이의 역수
시컨트 : secθ = 1/cosθ = 밑변의 역수
코탄젠트 : cotθ = 1/tanθ = cosθ/sinθ
왜 하필 사인이라고 하지?
갑자기 궁금해진 김에 삼각함수의 어원도 찾아보았다.
일찍이 인도에서는 sin을 활시위의 '현'을 뜻하는 'jya'라고 불렀다. 그것이 돌고 돌아 아라비아에서는 이 단어를 '접힘'을 뜻하는 'jaib'라고 부르게 되었고, 12세기 유럽 수학자들에 의해 라틴어로 번역되는 과정에서 '옷 주름, 접힘'을 뜻하는 단어 'sinus'로 쓰이게 되었다. - 재밌어서 밤새 읽는 수학 이야기 / 사쿠라이 스스무 / 도서출판 더숲 -
영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(jayb)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā, 베다 jiyā́)를 음차한 것이다. - 위키백과 -
왜 활시위를(현을) 말하는지 잘 몰랐는데 단위원에 적용된 sinθ를 보니 알 것 같다. 활 시위를 당기고 놓은 모습에서 빗변과 높이가 보인다! 당기지 않은 활의 현의 길이를 알고 당긴 활 시위의 길이를 안다면 당겨진 각도도 알아낼 수 있을 것이다(물론 활이 굽어지지 않는다는 전제하에서).
탄젠트는 더욱 알기 쉽다. 영어단어 'tangent' 는 접선이라는 뜻이다. '사진3'에서 선분AO를 밑변으로 하고 원점의 θ와 점A의 직각을 갖는 직각삼각형을 만들었을때, tanθ는 '높이/밑변 = 높이/1' 이므로 삼각형의 높이가 곧 tanθ 이다. 이때의 삼각형의 높이로 하는 변은 점 A에서 직각이므로 원의 접선에 해당한다.
코사인은 더더욱 알기 쉽다. 접두사 co- 는 '함께'의 의미를 담고있는데, 삼각형의 θ와 함께있는 다른 각(여각) '90˚-θ'의 sin값이 곧 'cosine' 인 것이다(cosθ = sin(90˚-θ)).
코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터(영어판)의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다. - 위키백과 -