거짓말을 하고 있는 것은 누구일까?
미 : 그럼 지금부터, 우리 둘 중 한 명이 진짜를 말하고
궁 : 나머지 한 명은 거짓만을 말하는 걸로 가지.
유희 : 어이, 방금 그 말은 거짓말이 아니겠지?
궁 : 아니야, 진짜다!
- 애니메이션 [유희왕 듀얼몬스터즈] 중에서 -
미궁의 듀얼에서 이 대화를 들은 '조이'는 해결방법을 고민하다가 한 이야기를 떠올렸다. 길을 가던 여행자가 거짓말 쟁이 마을과 정직한 마을 갈림길 사이에서 한 마을 주민을 만난다면, 어떻게 물어야 정직한 마을을 갈 수 있는지 알아내는 방법이였다. 그것은 '당신의 마을에 데려다 주세요' 였다. 정직한 마을 사람이라면 자신의 마을로 데려다 줄 것이고 거짓말 쟁이 마을 사람이라면 자신의 마을이 아닌 정직한 마을로 향할 것이기 때문이다. 작중에서 '미' 와 '궁' 두 형제는 두 개의 출구 중 어느 쪽이 자신이 지키는 문이냐는 질문에 둘이 함께 '궁' 의 문을 가리켰으나 결과는... 유희왕 듀얼몬스터즈 19화에서... (광고아님)
"이 문장은 거짓이다."
이 명제는 참일까? 명제가 뜻하는 대로 이 명제가 거짓이라면 이 명제의 '역'인 "이 문장은 거짓이 아니다" 라는 명제가 참이 된다(여기서 "이 문장"은 원래의 문장을 가리킨다). 그런데 "이 문장은 거짓이 아니다" 가 참이라면 결국 이 말은 "이 문장은 참이다" 를 의미한다(현재 논리의 공리계에서 참인지 거짓인지 알 수 없는 상태가 있음을 증명한 불확정성의 원리는 잠시 배제한다). 따라서 "이 문장은 참이다" 라는 문장은 참이되는데 처음의 "이 문장은 거짓이다" 라는 문장과 완전히 모순이 되는 결과가 만들어진다. 반대로 이 명제가 참이라고 전제해봐도 결과는 같다.
거짓말쟁이의 역설과 러셀의 역설
위와 같은 예를 철학과 논리학에서는 거짓말쟁이의 역설(Liar Paradox)이라고 한다. 그리고 이 거짓말쟁이의 역설을 수리논리학의 집합론적 관점에서 수학적으로 정리를 한 사람이 영국의 철학자 버트런드 러셀(Bertrand Arthur William Russell, 1872년 5월 18일 ~ 1970년 2월 2일)이다.
우리가 알고있는 세상의 모든 것을 하나의 집합으로 묶어보자. 색, 빛, 수, 동물, 식물, 친구, 우정, 세상사는얘기, 문자, 흙, 흙속의 먼지, 공기, 우리자신, 해운대 모래알 개수, 원소의 개수, 과거와 미래의 모든 정보, 별의 개수 등등. 만약 이렇게 모든 것을 담은 집합을 하나 만들었다고 가정한다면, 그 집합이 담은 모든 것중에 그 집합 자체가 포함이 되어있을까?
'모든것의 집합' = [색, 빛, 수, 동물, 식물, ... , 파란색, 자외선, 0, 사람, 나무, ... , '모든것의 집합' , ... ]
이런 집합이 존재한다고 한다면, 형광펜이 칠해진 '모든것의 집합' 안에는 그 집합 안에 포함되지 않은 정보들을 포함하지 못하게 된다.
만약,
'모든것의 집합' = [색, 빛, 수, 동물, 식물, ... , 파란색, 자외선, 0, 사람, 나무, ... , '모든것의 집합' , ... ]
라면 '모든것의 집합' 안에 분명히 우주에 존재하고있는 '모든것의 집합'이라는 대상이 포함되어 있지 않기 때문에 이는 '모든것의 집합' 이라고 할 수 없다. 따라서 모든것의 집합은 존재하지 않는다.
예를 들어, 칸토어의 집합론에서 자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합들의 집합을 정의하고 이 집합이 자기 자신의 원소인지 여부를 물으면, 이에 대한 긍정과 부정 가운데 어느 하나를 가정하더라도 모순이 유도된다. - 위키 백과 -
수학선생님한테 배워보자
이발사의 역설로도 널리 알려진 거짓말쟁이의 역설은 유투브 채널 중 수학에 대해 알기쉽게 배울 수 있는 '이상엽Math' 채널에서 러셀의 역설에 관한 재밌는 비유와 함께 자세히 설명 되어 있다. (광고아님)